Aufgabe 1: Eine Gerade g geht durch die Punkte P und Q; m ist ihre Steigung. Bestimme aus den angegebenen Werten die Gleichung von g.
a) m = 12 , P = ( 2 | 3) ,
Lösung: Die Gerade g mit der Steigung m durch den Punkt P hat die Gleichung y = yP + m (x - xP).
g: y = 3 + 12 (x - 2);
Normalform der Gleichung von g: y = 12x - 21.
b) P = ( 1 | -1 ), Q = ( 2 | 14 ) .
Lösung: Die Steigung der Geraden g durch P und Q ist m = (yQ-yP)/(xQ-xP).
m = (14 + 1)/(2-1) = 15
g: y = yP + m (x - xP), also y = -1 +15 (x - 1);
Normalform der Gleichung von g: y = 15x - 16.
Aufgabe 2: Die Lichtstrahlen des Leuchtturms "Rote Beete" gehen vom Punkt Z( -6 | 1 ) aus; einer der beiden begrenzenden Strahlen trifft (zu einem bestimmten festen Zeitpunkt) Uhr im Punkte B( 3 | 3 ) den Bug eines in NW-Richtung fahrenden (und als Strecke HB vorgestellten) Schiffs. Der andere Begrenzungsstrahl geht durch den Punkt P( 4 | -4 ) und trifft das Heck H des Schiffes.
a) Fertige eine - nicht unbedingt maßstabgetreue — Planzeichnung an.
Lösung:
b) Bestimme die Koordinaten von H.
Lösung:
H ergibt sich als Schnittpunkt der Geraden g durch Z und P mit der Geraden h, die durch B gezogen ist und wegen der NW-Richtung des Schiffes die Steigung -1 hat.
g: y = yZ +(yP-yZ)/(xP-xZ) * (x - xZ) , also y = 1 + (-4-1)/(4+6) * (x + 6);
g hat also die Gleichung y = - 0,5x - 2.
h: y = yB + (-1) (x - xB), also y = 3 - (x - 3), also y = -x + 6.
Zur Berechnung der x-Koordinate xH des Schnittpunkts werden die Ausdrücke für y gleichgesetzt:
- 0,5x - 2 = -x + 6
Auflösen nach x ergibt xH = 16
Einsetzen in in die Gleichung von h liefert yH = -16 + 6 = - 10
Der Punkt H hat die Koordinaten ( 16 | - 10 ).
c) Berechne die Länge des Schiffs.
Lösung:
Die Länge s der Strecke HB errechnet sich als Wurzel aus s2 =( (xH - xB)2 + (yH - yB)2 ).
s2 = (16-3)2 + (-10-3)2 = 338; s = Wurzel(338) &Mac197; 18,384776 .
Die Länge des Schiffs beträgt ca. 18,38 LE .
Aufgabe 3: Auf dem Graphen der Funktion f mit der Gleichung f(x) = x2 - 6x + 10 liegen die Punkte P(1|f(1)), Q(3|f(3)) und R(4|f(4)). Durch Q wird eine Gerade g gezogen, die orthogonal zur Strecke PR verläuft.
a) Bestimme die Gleichung von g.
Lösung:
Wegen f(1) = 5 , f(3) = 1 , f(4) = 2 ergibt sich P =( 1 | 5), Q = ( 3 | 1), R = ( 4 | 2 ).
PR hat die Steigung mPR = (yR - yP) / (xR - xP) = (2 - 5)/(4 - 1) = -1.
Die zu PR orthogonale Gerade hat die Steigung mg = -1/mPR = 1
Da g mit der Steigung mg durch Q verläuft, ergibt sich als Gleichung von g:
g: y = yQ + mg (x - xQ), also y = 1 + 1 (x - 3).
Die Normalform der Gleichung von g lautet y = x - 2.
b) Bestimme die Schnittpunkte von g mit der x-Achse und mit der y-Achse.
Lösung:
Genau dann liegt ein Punkt auf der x-Achse (y-Achse), wenn seine y-Koordinate (x-Koordinate) den Wert 0 hat. Es ist also zu berechnen, welchen y-Wert die Geradengleichung für x=0 annimmt, und für welchen x-Wert y-Term der Geradengleichung null wird.
Einsetzen von x = 0 in die Geradengleichung ergibt y = .-2 .
Der Schnittpunkt von g mit der y-Achse ist also Y(0 | -2).
Auflösen der Gleichung x - 2 = 0 nach x ergibt x = 2 .
Der Schnittpunkt von g mit der x-Achse ist also X( 2 | 0 ).
Die Achsenschnittpunkte von g sind X( 2 | 0 ) und Y(0 | -2).
Aufgabe 4: Im Dreieck UVW mit U = ( 2 | 1 ), V = ( 6 | 2 ), W = ( 5 | 6 ) wird die Höhe h durch U und die Seitenhalbierende s durch V gezogen. Diese beiden Linien schneiden sich in einem Punkt D.
a) Bestimme die Gleichungen der Geraden h und s.
Lösung:
Die Gerade h verläuft orthogonal zu VW durch U; die Gerade s geht durch V und den Mittelpunkt M von UW.
mVW = (yW-yV)/(xW-xV) = (6 - 2)/(5 - 6) = - 4
M = ( (xW + xU)/2 | (yW + yU)/2 ) = ( (6+1)/2 | (5+2)/2 ) = ( 3,5 | 3,5 )
Da h orthogonal zu VW ist, gilt mVW * mh = -1, also mh = -1/(-4) = 0,25 .
ms = (yM-yV)/(xM-xV) = (3,5 - 2)/(3,5 - 6) = - 0,6
s: y = yV + ms (x - xV); s hat also die Gleichung y = 2 - 0,6 (x - 6) .
h: y = yU + mh (x - xU); somit hat h die Gleichung y = 1 + 0,25 (x - 2) .
Normalform der Gleichungen: s: y = - 0,6x + 5,6; h: y = 0,25x + 0,5 .
b) Berechne die x-Koordinate von D.
Lösung:
Die Koordinaten von D(x|y) erfüllen die Gleichung von s und die Gleichung von h. Gleichsetzen der Terme für y ergibt.
0,25x + 0,5 = - 0,6x + 5,6 , also nach Zusammenfassen und Ordnen 0,85x = 5,1 .
Auflösen nach x ergibt die x-Koordinate xD = 6.
Aufgabe Z: In einem Viereck ABCD sind P, Q, R, S die Mittelpunkte der Seiten. Zeige durch Nachrechnen, dass dass PQ und RS parallel sind.
Lösung:
Als Mittelpunkte der Seiten erhält man:
P = ( (xA + xB)/2 | (yA + yB)/2 ), Q = ( (xB + xC)/2 | (yB + yC)/2 )
R = ( (xC + xD)/2 | (yC + yD)/2 ), S = ( (xD + xA)/2 | (yD + yA)/2 ) .
mPQ = ( (yB + yC)/2 - (yA + yB)/2 ) / ( (xB + xC)/2 - (xA + xB)/2 ) = ( (yC - yA)/2 ) / ( (xC - xA ) / 2 ) = ( yC - yA ) / ( xC - xA ) mRS = ( (yD + yA)/2 - (yC + yD)/2 ) / ( (xD + xA)/2 - (xC + xD)/2 = ( (yA - yC )/2 ) / ( (xA - xC )/2 ) = ( yA - yC ) / ( xA - xC ) Da mPQ und mRS gleich sind (sie unterscheiden sich nur in der Form und gehen durch Erweitern mit -1 ineinander über), sind PQ und RS als parallel nachgewiesen.