Teil(ungs)verhältnisse bei geometrischen Figuren

Definition: Unter dem Verhältnis, in dem ein Punkt P auf einer Strecke AB diese Strecke teilt, versteht man den Quotienten L(AP)/L(AB). Dabei wird für Punkte X, Y mit L(XY) die Länge der Strecke XY bezeichnet.
Bemerkung: Die Teilverhältnis-Definition ist nicht symmetrisch hinsichtlich der Endpunkte der jeweiligen Strecke. Bezeichnet r das Verhältnis, in dem P die Strecke AB teilt, s das Verhältnis, in dem P die Strecke BA teilt, dann ist r + s = 1.

Die folgenden beiden - aus dem Unterricht bekannten - Aussagen werden benötigt:

Beispiel einer Aufgabe zur Bestimmung des Teilverhältnisses:

Für ein Dreieck ABC wird folgendes vorausgesetzt:

P teilt die Seite AB im Verhältnis 1:3, Q teilt die Seite BC im Verhältnis 3:5; M ist der Mittelpunkt von AC. Der Schnittpunkt der Strecken PQ und BM wird mit S bezeichnet.
In welchem Verhältnis teilt S die Strecke PQ?

Die wesentlichen Teile der Lösungsidee sind nun die folgenden:

  1. Da das gesuchte Verhältnis nur von der Lage der Punkte, nicht aber von der Lage des Ursprungs abhängig ist, darf man den Ursprung beliebig wählen.
  2. Da S sowohl auf PQ als auch auf BM liegt, lässt sich sein Ortsvektor s sowohl in der Form p + r(q-p) als in der Form b + t(m-b) darstellen, wobei r gerade das gesuchte Teilverhältnis angibt.
  3. Wählt man einen der drei Eckpunkte des Dreiecks - z.B. A - als Ursprung, kann man gemäß den Voraussetzungen die Ortsvektoren der auftretenden Punkte alle mit Hilfe der Ortsvektoren b und c ausdrücken.
  4. Durch Gleichsetzen der Darstellungen für s erhält man daher eine Vektorgleichung, in der nur noch Vielfache von b und c auftreten. Durch Zusammenfassen erhält man eine Gleichung der Form F*b + G*c = 0, wobei F und G lineare Terme mit den Parametern r und t sind.
  5. Wenn das Dreieck ABC nicht zu einer Strecke ausgeartet ist, sind die Vektoren b-a, c-a, in diesem Spezialfall also b, c linear unabhängig. Daher folgt F = 0 und F = 0, wodurch man ein lineares Gleichungssystem für r und t erhält.
  6. Das gesuchte Teilverhältnis ist dann die Lösung des Gleichungssystems, die sich für r ergibt.

Durchführung:

Nach den Voraussetzungen der Aufgabe hat man:

p = a + 1/3 (b - a) = 2/3 a + 1/3 b ,
q = b + 3/5 (c - b) = 2/5 b + 3/5 c ,
m = a + 1/2 (c - a) = 1/2 a + 1/2 c .

Aufgrund der speziellen Wahl des Ursprungs vereinfacht sich dieser Ansatz zu

p = 1/3 b , q = 2/5 b + 3/5 c , m =1/2 c .

Die unter Punkt 2 aufgeführten Darstellungen von s werden gleichgesetzt und nach Vektoren zusammengefasst:

( 1 - r ) p + r q = ( 1 - t ) b + t m ; Einsetzen ergibt:

( 1 - r ) 1/3 b + r ( 2/5 b + 3/5 c ) = ( 1 - t ) b + t 1/2 c .

Durch Multiplikation mit 30 (=kgV(3, 5, 2) ) wird die Gleichung schreibtechnisch vereinfacht:

10 ( 1 - r ) b + r ( 12b + 18c ) = 30( 1 - t ) b + 15t c .

Die Vektoren werden nun auf der linken Seite der Gleichung zusammengefasst:

(10 - 10r + 12r - 30 + 30t ) b + ( 18r - 15t ) c = o .

Da gemäß Punkt 5 die Koeffizienten von b und c beide null sein müssen, ergibt sich das Gleichungssystem

2r + 30t = 20
18r - 15t = 0.

Die Bestimmung von r (hier durch Addition des 0,5-fachen der ersten Gleichung zur zweiten und anschließende Division durch 19) ergibt r = 10/19.

Das gesuchte Teilverhältnis beträgt also 10/19 .

Hinweis für Lernende: Legt man bei der obigen Aufgabe den Ursprung in B, wird die Rechnung noch etwas einfacher; es wird empfohlen, die entsprechende Berechnung des Teilverhältnisses als Übungsaufgabe durchzuführen.
Eine weitere Übung besteht in der Durchführung der Berechnung mit C als Ursprung.

Lö, 2003-06-10