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Steckbriefaufgaben in der Analysis - eine zusammenfassende Wiederholung anhand eines Beispiels

Das Problem

Bei einer Kurvendiskussion (oder Funktionsuntersuchung) ist eine Funktion durch ihre Gleichung und ihren Definitionsbereich gegeben. Gesucht wird der Verlauf des Graphen der Funktion, insbesondere Vorzeichen-, Monotonie- und Krümmungsverhalten, aus dem sich dann die Nullpunkte, die Hoch- und Tiefpunkte sowie die Wendepunkte ergeben.

Bei einer Streckbriefaufgabe ist die Situation gewissermaßen umgekehrt. Man kennt nur einige der Eigenschaften des Graphen und soll damit eine Funktion bestimmen, deren Graph diese Eigenschaften hat. Dabei besteht die Vorgehensweise aus wenigen, deutlich voneinander unterschiedenen Schritten, die nachfolgend an einem Beispiel erläutert werden:

Gesucht wird die Gleichung einer ganzrationale Funktion möglichst niedrigen Grades, die bei 4 eine Nullstelle hat und die y-Achse an der Stelle -32 mit der Steigung - 12 schneidet. Im Punkte P(2|f(2)) hat sie eine waagerechte Tangente.

Die Lösung verläuft nun im wesentlichen in vier - unterschiedlich aufwendigen - Schritten.

Erster Schritt: Umsetzung der Bedingungen in Aussagen über die Funktion und ihre Ableitungen, also über f, f' und f''.

Zweiter Schritt: Identifizierung des Funktionstyps und Anwenden der Ergebnisse des ersten Schritts.

Dritter Schritt: Zusammenfassung der Ergebnisse des Zweiten Schritts und Lösen des entstandenen Gleichungssystems.

Vierter Schritt: Anwenden der Lösungen des Gleichungssystems auf die Form der Funktionsgleichung.

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